已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1與x=-
23
時都取得極值.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若x∈[-1,2],都有f(x)-c2<0成立,求c的取值范圍.
分析:(Ⅰ)由極值的定義可知
f′(1)=0
f′(
2
3
)=0
解此方程組可得a、b的值;
(Ⅱ)解法一通過分離常數(shù)把問題轉化為求函數(shù)g(x)=x3-
1
2
x2-2x
在區(qū)間[-1,2]上的最大值問題;解法二則把問題恒成立轉化為求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值問題.
解答:解:(Ⅰ)由已知,f'(x)=3x2+2ax+b,∵在x=1與x=-
2
3
時取極值,
f′(1)=0
f′(
2
3
)=0
3+2a+b=0
3×(-
2
3
)2+2a×(-
2
3
)+b=0

解得a=-
1
2
,b=-2
,故a,b的值為:-
1
2
,-2

(Ⅱ)(解法一)由(I)知f(x)=x3-
1
2
x2-2x+c
.由f(x)-c2<0得:x3-
1
2
x2-2x<c2-c在[-1,2]
上恒成立.
g(x)=x3-
1
2
x2-2x(x∈[-1,2]),g′(x)=3x2-x-2
.…(8分)
g′(x)=0得,x=-
2
3
或x=1.,g(-1)=
1
2
,g(-
2
3
)=
22
27
,g(1)=-
3
2
,g(2)=2
.…(10分)
∴[g(x)]max=2,∴2<c2-c解得,c<-1或c>2.,
∴c的取值范圍為(-∞,-1)∪(2,+∞).
(解法二)由(I)知f(x)=x3-
1
2
x2-2x+c
.,∴f'(x)=3x2-x-2.…(8分)
①當x∈[-1,-
2
3
)時,f′(x)>0
;②當x∈[-
2
3
,1)時,f′(x)<0
;
③當x∈[1,2]時,f′(x)>0;∴當x=-
2
3
時,f(x)有極大值
22
27
+c

f(-1)=
1
2
+c,f(2)=2+c
,…(10分)
∴當x∈[1,2]時,f(x)的最大值為f(2)=2+c.
x∈[1,2],f(x)<
1
x
恒成立∴2+c<c2
,
故c的取值范圍為(-∞,-1)∪(2,+∞).…(12分)
點評:本題考查函數(shù)的極值與最值,通過求解函數(shù)的最值來解決恒成立問題是解決問題的關鍵,屬中檔題.
練習冊系列答案
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已知f(x)=x3+
3x
,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間及其極值.

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已知f(x)=x3+
1
2
mx2-2m2x-4
(m為常數(shù),且m>0)有極大值-
5
2
,
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)求曲線y=f(x)的斜率為2的切線方程.

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x+3
x2+3
的導數(shù)
(2)已知f(x)=x3+4cosx-sin
π
2
,求f'(x)及f′(
π
2
)

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已知f(x)=-x3+ax2-4
 (a∈R)
,f′(x)是f(x)的導函數(shù).
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(2)當a=2時,對任意的m∈[-1,1],n∈[-1,1],求f(m)+f'(n)的最小值;
(3)若?x0∈(0,+∞),使f(x)>0,求a取值范圍.

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