已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，圓M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切，過原點(diǎn)O作傾斜角為的直線n，交l于點(diǎn)A，交圓M于另一點(diǎn)B，且AO＝BO＝2

(1)求圓M和拋物線C的方程；

(2)若P為拋物線C上的動點(diǎn)，求的最小值；

(3)過l上的動點(diǎn)Q向圓M作切線，切點(diǎn)為S，T，求證：直線ST恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

答案：
解析：

　　解：(1)易得，，設(shè)圓的方程為，

　　將點(diǎn)代入得，所以圓的方程為

　　點(diǎn)在準(zhǔn)線上，從而，拋物線的方程為

　　(2)由(1)得，設(shè)點(diǎn)，則

　　得，，

　　所以

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3858/0020/5925a53d37abfdf7b0c70bc7c4ee2f36/C/Image187.gif" width=37 height=18>，所以，即的最小值為．

　　(3)設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的切線長為，則以為圓心，切線長為半徑的圓的方程為，

　　即　　①

　　又圓的方程為，即　　②

　　由①②兩式相減即得直線的方程：

　　顯然上面直線恒過定點(diǎn)


練習(xí)冊系列答案
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已知拋物線C：y2＝8x與點(diǎn)M(－2，2)，過C的焦點(diǎn)，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若·＝0，則k＝

[　　]

A．

B．

C．

D．2

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已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F作C的兩條互相垂直的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N．

(Ⅰ)證明直線MN必過定點(diǎn)，并求出這點(diǎn)的坐標(biāo)；

(Ⅱ)分別以AB、CD為直徑作圓，求兩圓相交弦的中點(diǎn)H的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：湖北省武漢市武昌區(qū)2012屆高三5月調(diào)研考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：044

如圖，已知拋物線C：y2＝4x，過點(diǎn)A(1，2)作拋物線C的弦AP，AQ．

(Ⅰ)若AP⊥AQ，證明直線PQ過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；

(Ⅱ)假設(shè)直線PQ過點(diǎn)T(5，－2)，請問是否存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的個(gè)數(shù)？如果不存在，請說明理由．

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已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線y＝2x－4與C交于A，B兩點(diǎn)，則cos∠AFB＝(　 　)

A.         B.           C．－       D．－

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點(diǎn)A(1，－2)．

(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；

(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于？若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由．

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