Question

已知向量滿足，且，令，
（1）求（用k表示）；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)x取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用條件把已知的等式兩邊平方展開(kāi)整理易得函數(shù)f（k）的解析式．
（Ⅱ）由基本不等式求的函數(shù)f（k）的最小值等于，問(wèn)題等價(jià)于 在[-1，1]上恒成立，故即g（t）=2xt-x²+1≥0在[-1，1]上恒成立，而g（t）在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)或常函數(shù)，所以，由此求得實(shí)數(shù)x的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)得，對(duì)，
兩邊平方得． …（2分）
展開(kāi)整理易得．…（4分）
（Ⅱ）∵，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取得等號(hào)．…（6分）
欲使對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立，等價(jià)于…（7分）
即g（t）=2xt-x²+1≥0在[-1，1]上恒成立．
而g（t）在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)或常函數(shù)，
所以，…（11分） 
解得，…（13分）
故實(shí)數(shù)x的取值范圍為． …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及函數(shù)的恒成立問(wèn)題，求出函數(shù)f（k）的解析式，是解題的突破口，屬于中檔題．