Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E： =1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)為A（﹣2，0），離心率為 ，過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓E交于另一點(diǎn)B，點(diǎn)C為y軸上的一點(diǎn)．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若△ABC是以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得： ，從而有b2=a2﹣c2=3，

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）解：設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），代入為： ，

得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0

因?yàn)閤=﹣2為該方程的一個(gè)根，解得B（ ， ），

設(shè)C（x0，y0），由kACkBC=﹣1，得： ，

即：（3+4k2）y02﹣12ky0+（16k2﹣12）=0 ①

由AC=BC，即AC2=BC2，得4+y02=（ ）2+（y0﹣ ）2，

即4= +（ ）2﹣ ，

即4（3+4k2）2=（6﹣8k2）2+144k2﹣24（3+4k2）y0…①，

所以k=0或y0= ，

當(dāng)k=0時(shí)，直線l的方程為y=0，

當(dāng)y0= 時(shí)，代入①得16k4+7k2﹣9=0，解得k= ，

此時(shí)直線l的方程為y=± （x+2）

綜上，直線l的方程為y=0，y=± （x+2）

【解析】(1)根據(jù)橢圓的特性可得a、b的值進(jìn)而得到橢圓的方程。（2）聯(lián)立橢圓和直線的方程，點(diǎn)A在橢圓上，解得點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用設(shè)而不求法設(shè)出點(diǎn)C
的坐標(biāo)，根據(jù)兩條直線垂直斜率值即為-1得到關(guān)于x0、y0的一個(gè)方程，根據(jù)AC=BC得到另一個(gè)關(guān)于x0、y0的方程，聯(lián)立兩式解得k和y0的值，分情況討論
當(dāng)k=0時(shí)，直線l的方程為y=0，當(dāng)時(shí)，求出k= ± ，進(jìn)而得到直線的方程。