Question

已知函數(shù)f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）證明f（x）＞0；
（Ⅲ）若f（x）•f（-x）=

25

36

x²，求x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出定義域，再計(jì)算f（-x），與f（x）比較，即可得到f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）討論x＞0，x＜0，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；
（Ⅲ）運(yùn)用偶函數(shù)的結(jié)論，即可得到

1

2x-1

+

1

2

=±

5

6

，解出即可得到x．

解答： （Ⅰ）解：函數(shù)f（x）=x

2x+1

2(2x-1)

的定義域?yàn)閧x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對稱，
f（-x）=-x•

2-x+1

2(2-x-1)

=-x•

1+2x

2(1-2x)

=f（x），
則f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，2^x＞1，則f（x）＞0，
同理x＜0時(shí)，2^x＜1，也有f（x）＞0，
故f（x）＞0成立；
（Ⅲ）解：f（x）•f（-x）=

25

36

x²，
即有f²（x）=

25

36

x²，
即有f（x）=±

5

6

x，
即

1

2x-1

+

1

2

=±

5

6

，
即有2^x-1=3或-

3

4

，
即2^x=4或

1

4

，
解得，x=2或-2．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運(yùn)用，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．