Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+a（x﹣1），其中a∈R． （Ⅰ） 當a=﹣1時，求證：f（x）≤0；
（Ⅱ） 對任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使tlnt+（t﹣1）[f（x）+a]＞0成立，求a的取值范圍．
（其中e是自然對數的底數，e=2.71828…）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=﹣1時，f（x）=lnx﹣x+1（x＞0），

則 ，令f'（x）=0，得x=1．

當0＜x＜1時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；當x＞1時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．

故當x=1時，函數f（x）取得極大值，也為最大值，所以f（x）max=f（1）=0，

所以，f（x）≤0，得證．

（II）原題即對任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使 成立，

只需 ．（5分）

設 ，則 ，

令u（t）=t﹣1﹣lnt，則 對于t≥e恒成立，

所以u（t）=t﹣1﹣lnt為[e，+∞）上的增函數，

于是u（t）=t﹣1﹣lnt≥u（e）=e﹣2＞0，即 對于t≥e恒成立，

所以 為[e，+∞）上的增函數，則 ．（8分）

令p（x）=﹣f（x）﹣a，則p（x）=﹣lnx﹣a（x﹣1）﹣a=﹣lnx﹣ax，

當a≥0時，p（x）=﹣lnx﹣ax為（0，+∞）的減函數，且其值域為R，符合題意．

當a＜0時， ，由p'（x）=0得 ，

由p'（x）＞0得 ，則p（x）在 上為增函數；

由p'（x）＜0得 ，則p（x）在 上為減函數，

所以 ，

從而由 ，解得 ．

綜上所述，a的取值范圍是 ．

【解析】（Ⅰ）求出函數f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數f（x）的最大值，證明結論即可；

（Ⅱ）問題轉化為證明 ，設 ，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．