Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=-1，且（n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n成等差數(shù)列．
（1）設(shè)b_n=（n+1）a_n-n+2，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)（n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n成等差數(shù)列可知（n+2）a_n+1=

1

2

（n+1）a_n+

n

2

，把這一關(guān)系式代入

bn+1

bn

中，進(jìn)而可推知

bn+1

bn

=

1

2

，進(jìn)而可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列
（2）根據(jù)（1）中數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列可求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，依據(jù)b_n=（n+1）a_n-n+2，進(jìn)而可求{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：（1）證明：由已知得（n+2）a_n+1=

1

2

（n+1）a_n+

n

2

，
∵b₁=2a₁-1+2=-1，
∴

bn+1

bn

=

(n+2)an+1- (n+1)+2

(n+1)an- n+2

=

1 2 (n+1)an+ n 2 -(n+1)+2

(n+1)an-n+2

=

1 2 (n+1)an- n 2 +1

(n+1)an-n+2

=

1

2

∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列
（2）由（1）得b_n=-（

1

2

）^n-1，即（n+1）a_n-n+2
=-（

1

2

）^n-1．
∴a_n=-

1

n+1

（

1

2

）^n-1+

n-2

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比關(guān)系的確定．判定的關(guān)鍵是看數(shù)列的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為同一個(gè)常數(shù)．