【題目】如圖,已知橢圓C:+y2=1(a>1)的上頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,直線AF與圓M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),且=0,求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo).
【答案】(1)+y2=1(2)證明見(jiàn)解析,定點(diǎn)N.
【解析】
(1)利用直線AF與圓相切可求得a(圓心到直線的距離等于半徑),從而得橢圓方程;
(2)由=0,知AP⊥AQ,從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直,設(shè)直線AP的方程為y=kx+1,代入橢圓方程可求得P點(diǎn)坐標(biāo),同理可得Q點(diǎn)坐標(biāo),寫出直線PQ方程,化簡(jiǎn)后可知其所過(guò)定點(diǎn).
(1)將圓M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-1)2=3,圓M的圓心為M(3,1),半徑為r=.
由A(0,1),F(c,0)(c=)得直線AF:+y=1,即x+cy-c=0.
由直線AF與圓M相切得=.
所以c=或c=-(舍去).所以a=,
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)證明:由=0,知AP⊥AQ,從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直,
由A(0,1)可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1,直線AQ的方程為y=-x+1(k≠0),
將y=kx+1代入橢圓C的方程+y2=1并整理,得(1+3k2)x2+6kx=0,
解得x=0或x=-,
因此P的坐標(biāo)為,即.
將上式中的k換成-,得Q.
所以直線l的方程為y=·+,
化簡(jiǎn)得直線l的方程為y=x-.
因此直線l過(guò)定點(diǎn)N.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(Ⅲ)證明:在線段BC1存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B,并求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 如圖是正方體的平面展開(kāi)圖.在這個(gè)正方體中,
①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.
以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)+x2+1,g(x)=﹣x2﹣2mx+4.
(1)當(dāng)a>0時(shí),求曲線y=f(x)的切線斜率的取值范圍;
(2)當(dāng)a=﹣4時(shí),若存在x1∈[0,1],x2∈[1,2],滿足f(x1)≥g(x2),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題正確的是( )
A.若函數(shù)在上有零點(diǎn),則一定有
B.函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
C.若函數(shù)的值域?yàn)?/span>,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D.若函數(shù)滿足條件,,則,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,底面是邊長(zhǎng)為3的正方形,平面,,,與平面所成的角為.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AB//DC,,PA底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中點(diǎn).
(1)證明:面PAD面PCD;
(2)求AC與PB所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái),“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便,某共享單車公司“Mobike”計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資120萬(wàn)元,根據(jù)行業(yè)規(guī)定,每個(gè)城市至少要投資40萬(wàn)元,由前期市場(chǎng)調(diào)研可知:甲城市收益P與投入(單位:萬(wàn)元)滿足,乙城市收益Q與投入(單位:萬(wàn)元)滿足,設(shè)甲城市的投入為(單位:萬(wàn)元),兩個(gè)城市的總收益為(單位:萬(wàn)元).
(1)當(dāng)甲城市投資50萬(wàn)元時(shí),求此時(shí)公司總收益;
(2)試問(wèn)如何安排甲、乙兩個(gè)城市的投資,才能使總收益最大?
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