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18.如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P在平面ABC內(nèi),且為△ABC外一點(diǎn),∠BPC=90°
(1)若PB=12,求PA;
(2)若∠APB=30°,求tan∠PBA.

分析 (1)由題意利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得∠PBC=60°,∠PBA=∠ABC+∠PBC=150°.在△PBA中,由余弦定理求得PA的值.
(2)設(shè)∠PBA=x,則∠PBC=x-90°,∠PAB=150°-x,利用銳角三角函數(shù)定義表示出BP,利用正弦定理求出tanx的值,即為tan∠PBA的值.

解答 解:(1)在△ABC中,由于AB=3,BC=1,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠BPC=90°,
直角三角形PBC中,若PB=12,∵cos∠PBC=12,∴∠PBC=60°.
∴∠PBA=∠ABC+∠PBC=90°+60°=150°.
在△PBA中,由余弦定理得PA2=+3+14-2×3×12×32,∴PA=192
(2)設(shè)∠PBA=x,則∠PBC=x-90°,∠PAB=150°-x,
在直角△BPC中,BP=cos(90°-x),
在△PAB中,根據(jù)正弦定理得:3sin30°=cos90°xsin150°x,即sin(150°-x)=36sinx,
化簡(jiǎn)得tanx=-32,則tan∠PBA=-32

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.

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