Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，E，F(xiàn)，G分別為AC，AA₁，AB的中點，（1）求證：B₁C₁∥平面EFG（2）求三棱錐B₁-EFG的體積．

Answer 1

分析：（1）要證B₁C₁∥平面EFG，只要在平面EFG內找出一直線與B₁C₁平行，由E，F(xiàn)為△AB，AC中點，可得GE∥BC．而B₁C₁∥BC，可得B₁C₁∥GE，從而可證
（2））由（1）知可得C₁與B₁到平面EFG的距離相等，則VB1-EFG=VC1-EFG=VG-C1EF，容易證明B₁C₁⊥平面C₁CA₁，而B₁C∥GE，可得GE⊥平面C₁EF，即GE為G到平面EFC₁的距離，代入錐體的體積公式可求

解答：解：（1）E，F(xiàn)為△AB，AC中點，∴GE∥BC．
∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁∥GE，
∵GE?平面GEF，B₁C₁∉平面GEF，
∴B₁C₁∥平面EFG  
（2）∵B₁C₁∥平面EFG，∴C₁與B₁到平面EFG的距離相等．  
∴VB1-EFG=VC1-EFG=VG-C1EF
∵B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥C₁C₁，A₁C₁∩C₁C=C₁
∴B₁C₁⊥平面C₁CA₁
∵B₁C∥GE∴GE⊥平面C₁EF
∵GE=

1

2

BC=1，SC1EF=2×2-

1

2

(1×2+1×1+1×2)=

3

2

∴VB1-EFG=

1

3

×

3

2

=

1

2

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理的應用及錐體的體積的計算，而本題（2）中所采用的換頂點求解三棱錐的體積及求解距離是非常重要的方法，要注意掌握．