Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-a|，a是正常數(shù)．
（1）如果函數(shù)f（x+2）是偶函數(shù)，求實數(shù)a的值
（2）如果函數(shù)f（x+2）在（2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）如果函數(shù)f（x+2）是偶函數(shù)，得到函數(shù)（x）關(guān)于x=2對稱，建立條件關(guān)系即可求實數(shù)a的值
（2）函數(shù)f（x+2）在（2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，得到f（x）在（4，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合絕對值函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進行求解即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=|2x-a|=2|x-

a

2

|，則對稱軸為x=

a

2

，
如果函數(shù)f（x+2）是偶函數(shù)，將函數(shù)向右平移2個單位得到f（x），在函數(shù)f（x）關(guān)于x=2對稱，
即

a

2

=2，即a=4．
（2）若函數(shù)f（x+2）在（2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
則函數(shù)f（x）在（4，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）=|2x-a|=2|x-

a

2

|的增區(qū)間為[

a

2

，+∞），
∴滿足4≥

a

2

，
解得a≤8，
即實數(shù)a的取值范圍是（-∞，8]．

點評：本題主要考查函數(shù)對稱性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)絕對值函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)平移之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．