Question

已知函數(shù)f（x）=lg（x+

1+x2

）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）求f（x）的單調(diào)區(qū)間并證明．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由x+

1+x2

＞0，求得x∈R，可得函數(shù)的定義域．
（2）由于函數(shù)的定義域關于原點對稱，且滿足f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）令t=x+

1+x2

，本題即求函數(shù)t的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)t′=

1+x2 +x

1+x2

＞0，可得函數(shù)t在R上是增函數(shù)，從而得出結論．

解答： 解：（1）由x+

1+x2

＞0，可得x∈R，故函數(shù)的定義域為R．
（2）由于函數(shù)的定義域關于原點對稱，且滿足f（-x）=lg（-x+

1+x2

）=lg

1

x+ 1+x2

=-lg（x+

1+x2

）=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）令t=x+

1+x2

，則f（x）=lgt，故本題即求函數(shù)t的單調(diào)區(qū)間．
由于t′=1+

x

1+x2

=

1+x2 +x

1+x2

＞0，故函數(shù)t在R上是增函數(shù)，故f（x）在R上是增函數(shù)，即f（x）的增區(qū)間為R．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應用，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎題．