Question

【題目】已知橢圓C：mx2+3my2=1（m＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程和離心率．
（2）設(shè)點(diǎn)A（3，0），動(dòng)點(diǎn)B在y軸上，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上，且點(diǎn)P在y軸的右側(cè)．若BA=BP，求四邊形OPAB面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意知橢圓C： ，

所以 ， ，

故 ，解得 ，

所以橢圓C的方程為 ．

因?yàn)? ，所以離心率

（2）

解：設(shè)線段AP的中點(diǎn)為D．

因?yàn)锽A=BP，所以BD⊥AP．

由題意知直線BD的斜率存在，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0）（y0≠0），

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ，直線AP的斜率 ，

所以直線BD的斜率 ，

故直線BD的方程為 ．

令x=0，得 ，故 ．

由 ，得 ，化簡(jiǎn)得 ．

因此，S四邊形OPAB=S△OAP+S△OAB=

= = = ．

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)等號(hào)成立．

故四邊形OPAB面積的最小值為

【解析】（1）將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可得a，可得b，即可得到橢圓方程，再由離心率公式計(jì)算即可得到所求值；（2）設(shè)AP中點(diǎn)為D，由|BA|=||BP|，所以BD⊥AP，求得AP的斜率，進(jìn)而得到BD的斜率和中點(diǎn)，可得直線BD的方程，即有B的坐標(biāo)，求得四邊形OPAB的面積為S=S△OAP+S△OMB ， 化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用基本不等式即可得到最小值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．