Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，且．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃（1-S_n+1），求適合方程的n的值．
（Ⅲ）記c_n=（n-2）•a_n，是否存在實數(shù)M，使得對一切n∈N^*，c_n≤M恒成立，若存在，請求出M的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 當n=1時，可求出a₁，當n≥2時，，兩式相減可得從而{a_n}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可求出通項公式；
（Ⅱ）先求出b_n的通項公式，根據(jù)可求出的值，從而求出n的值；
（III）先求出c_n的通項公式，然后根據(jù)c_n+1-c_n=-=≥0得n≤從而求出實數(shù)M，使得對一切n∈N^*，c_n≤M恒成立，最后求出最小值即可．
解答：解：（Ⅰ） 當n=1時，a₁=S₁，由，得．
當n≥2時，，，
∴，
即．
∴．
∴{a_n}是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
故．  …（6分）
（Ⅱ）1-S_n=a_n=，b_n=log₃（1-S_n+1）=log₃=-n-1，…（8分）

…（10分）
解方程得n=100…（12分）
（III）解：c_n=（n-2）•a_n=，
由c_n+1-c_n=-=≥0得n≤
∴c₃＞c₂＞c₁，
當n≥3時，c_n+1＜c_n即c₃＞c₄＞c₅＞…，又c₃=
故存在實數(shù)M，使得對一切n∈N^*，c_n≤M恒成立M的最小值為．
點評：本題主要考查了數(shù)列的判定，以及利用裂項求和法求和，同時考查了數(shù)列的函數(shù)特性，屬于中檔題．