Question

【題目】如圖，已知四邊形的直角梯形，∥BC，，，，為線段的中點(diǎn)，平面，，為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．

（1）若，

（ⅰ）求證：PC∥平面；

（ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；

（2）否存在實(shí)數(shù)滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，確定的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（�。┳C明見解析（ⅱ）（2）存在，

【解析】

（1）（i）連接交于點(diǎn)，連接，，依題意易證四邊形為平行四邊形，從而有，，由此能證明PC∥平面

（ii）推導(dǎo)出，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；

（2）設(shè)，求出平面的法向量，利用向量法求解.

（1）（ⅰ）證明：連接交于點(diǎn)，連接，，

因?yàn)?/span>為線段的中點(diǎn)，

所以,

因?yàn)?/span>，所以

因?yàn)?/span>∥

所以四邊形為平行四邊形．

所以

又因?yàn)?/span>，

所以

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面．

（ⅱ）解：如圖，在平行四邊形中

因?yàn)?/span>，，

所以

以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系

則，，，

所以，，，

平面的法向量為

設(shè)平面的法向量為，

則，即，取，得，

設(shè)平面和平面所成的銳二面角為，則

所以銳二面角的余弦值為

（2）設(shè)

所以，，

設(shè)平面的法向量為，則

，取，得，

因?yàn)橹本�與平面所成的角的正弦值為，

所以

解得

所以存在滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為.