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1.平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,離心率e=32,過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)記橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為A,B,設(shè)過點(diǎn)M(m,-2)(m≠0)的直線MA,MB與橢圓C分別交于點(diǎn)P,Q,求證:直線PQ必過一定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

分析 (1)由離心率e=32,可得a2=4b2,由過點(diǎn)F 垂直于x軸的直線被橢圓所截得弦長(zhǎng)為1,可得22a=1,解出即可得出.
(2)點(diǎn)M(m,-2),A(0,1),B(0,-1).直線MA方程為:y=-3mx+1,直線MB方程為:y=-1mx-1.
分別與橢圓x24+y2=1聯(lián)立方程組,可得:36m2+1x224mx=0,4m2+1x2+8mx=0,解得xP,xQ,可得yP,yQ.P,Q坐標(biāo).可得直線PQ方程,即可證明.

解答 (1)解:由離心率e=32,可得a2=4b2
∵過點(diǎn)F 垂直于x軸的直線被橢圓所截得弦長(zhǎng)為1,∴22a=1,
解得b=1,a=4,
∴橢圓C方程為x24+y2=1.
(2)證明:點(diǎn)M(m,-2),A(0,1),B(0,-1).
直線MA方程為:y=-3mx+1,
直線MB方程為:y=-1mx-1.
分別與橢圓x24+y2=1聯(lián)立方程組,可得:36m2+1x224mx=0,4m2+1x2+8mx=0,
解得xP=24mm2+36,xQ=8mm2+4,
可得:yP=-3mxP+1=m236m2+36,同理可得yQ=4m24+m2
∴P24mm2+36m236m2+36,Q8mm2+44m2m2+4
直線PQ的斜率k=m21216m,
則直線PQ方程為:y-4m24+m2=m21216mx+8mm2+4
化簡(jiǎn)可得直線PQ的方程為:y═m21216mx-12
∴直線PQ恒過定點(diǎn)012

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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