Question

17．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長為短軸長的$\sqrt{3}$倍．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）設橢圓E的焦距為2$\sqrt{2}$，直線l與橢圓E交于P，Q兩點，且OP⊥OQ，求證：直線l恒與圓x²+y²=$\frac{3}{4}$相切．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=$\sqrt{3}$b，由a，b，c的關系和離心率公式，計算即可得到所求值；
（2）求得橢圓的a，b，可得橢圓方程，討論直線的斜率不存在，設出方程x=m，代入橢圓方程求得P，Q的坐標，由仇恨值的條件，可得m，求得圓心到直線的距離可得結論；再設直線y=kx+n，代入橢圓方程，運用韋達定理，由兩直線垂直的條件，可得x₁x₂+y₁y₂=0，化簡整理，可得4t²=3+3k²，再求圓心到直線的距離，即可得到直線恒與圓相切．

解答 解：（1）由題意可得2a=2$\sqrt{3}$b，即a=$\sqrt{3}$b，
c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）證明：由題意可得c=$\sqrt{2}$，
由（1）可得a=$\sqrt{3}$，b=1，
橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
當直線l的斜率不存在時，設直線l的方程為x=m，
代入橢圓方程，可得y=±$\sqrt{1-\frac{{m}^{2}}{3}}$，
由OP⊥OQ，可得m²-（1-$\frac{{m}^{2}}{3}$）=0，
解得m=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由圓心（0，0）到直線x=m的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有直線l與圓x²+y²=$\frac{3}{4}$相切；
當直線的斜率存在時，設l：y=kx+t，
代入橢圓方程x²+3y²=3，可得
（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{6kt}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{t}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²，
由題意OP⊥OQ，可得x₁x₂+y₁y₂=0，
即為（1+k²）x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=0，
即（1+k²）•$\frac{3{t}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$+kt（-$\frac{6kt}{1+3{k}^{2}}$）+t²=0，
化簡可得4t²=3+3k²，
由圓心（0，0）到直線y=kx+t的距離為
d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|t|}{\sqrt{\frac{4}{3}{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即為半徑．
則直線l恒與圓x²+y²=$\frac{3}{4}$相切．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用橢圓的性質和離心率公式，考查直線和圓相切的條件：d=r，注意運用分類討論的思想方法，以及直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和兩直線垂直的條件，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．