Question

已知F₁、F₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右交點(diǎn)，點(diǎn)P（-

2

，1）在橢圓上，線段PF₂與y軸的交點(diǎn)M滿足

PM

+

F2M

=

0

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線OA與OB的斜率乘積k_OA•k_OB=-

1

2

，動(dòng)點(diǎn)N滿足

ON

=

OA

+λ

OB

（其中實(shí)數(shù)λ為常數(shù)），問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn)Q₁、Q₂，使得|NQ₁|+|NQ₂|=8？若存在，求Q₁、Q₂的坐標(biāo)及λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)題意，列出方程組

2 a2 + 1 b2 =1 - 2 +c=0 a2=b2+c2

，求出a²、b²，得橢圓的方程；
（2）設(shè)出N（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)題意求出N點(diǎn)的軌跡是橢圓

x2

4+4λ2

+

y2

2+2λ2

=1，
設(shè)出該橢圓的左、右焦點(diǎn)Q₁，Q₂，由橢圓的定義知|NQ₁|+|NQ₂|為定值；令定值等于8，求出λ的值，即可求出存在的定點(diǎn)Q₁、Q₂．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)P（-

2

，1）在橢圓上，
∴

2

a2

+

1

b2

=1①，
又∵線段PF₂與y軸的交點(diǎn)M滿足

PM

+

F2M

=

0

，
∴M為線段PF₂的中點(diǎn)，
∴-

2

+c=0②，
又a²=b²+c²③，
①②③聯(lián)立

2 a2 + 1 b2 =1 - 2 +c=0 a2=b2+c2

，
解得a²=4，b²=c²=2，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）設(shè)N（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

ON

=

OA

+λ

OB

，
∴（x，y）=（x₁，y₁）+λ（x₂，y₂）=（x₁+λx₂，y₁+λy₂），
即x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂；
又∵點(diǎn)A、B在橢圓

x2

4

+

y2

2

=1上，
∴x12+2y12=4，x22+2y22=4，
∴x²+2y²=（x12+λ²x22+2λx₁x₂）+2（y12+λ²y22+2λy₁y₂）
=（x12+2y12）+λ²（x22+2y22）+2λ（x₁x₂+2y₁y₂）
=4+4λ²+2λ（x₁x₂+2y₁y₂）；
又∵k_OA•k_OB=

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴x²+2y²=4+4λ²；
即

x2

4+4λ2

+

y2

2+2λ2

=1，
∴N點(diǎn)是橢圓

x2

4+4λ2

+

y2

2+2λ2

=1上的點(diǎn)，
設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為Q₁，Q₂，
由橢圓的定義知，|NQ₁|+|NQ₂|為定值；
又∵c²=2+2λ²，
∴此橢圓的兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為Q₁（-

2+2λ2

，0），Q₂（

2+2λ2

，0）；
令|NQ₁|+|NQ₂|=2（

4+4λ2

）=8，
解得λ=±

3

，
∴存在兩個(gè)定點(diǎn)Q₁（-2

2

，0），Q₂（2

2

，0），
使得|NQ₁|+|NQ₂|=8，此時(shí)λ=±

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)在橢圓上滿足橢圓的方程、斜率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理和計(jì)算能力，是難題．