Question

已知cos2α=

-4

5

，sin2α＞0，且tan（2α+θ）=1，則sinθ-cosθ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：根據(jù)cos2α的值及sin2α大于0，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sin2α的值，進(jìn)而求出tan2α的值，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡tan（2α+θ）=1，求出tanθ的值，得到sinθ與cosθ同號(hào)，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sinθ與cosθ的值，即可確定出sinθ-cosθ的值．

解答： 解：∵cos2α=-

4

5

，sin2α＞0，
∴sin2α=

1-cos22α

=

3

5

，
∴tan2α=-

3

4

，
∵tan（2α+θ）=

tan2α+tanθ

1-tan2αtanθ

=

- 3 4 +tanθ

1+ 3 4 tanθ

=1，
整理得：tanθ=7，即

sinθ

cosθ

=7，
∴sinθ與cosθ同號(hào)，
∴cosθ=±

1 1+tan2θ

=±

2

10

，
∴sin²θ=1-cos²θ=

49

50

，即sinθ=±

7 2

10

，
當(dāng)cosθ=

2

10

時(shí)，sinθ=

7 2

10

，此時(shí)sinθ-cosθ=

3 2

5

；當(dāng)cosθ=-

2

10

時(shí)，sinθ=-

7 2

10

，此時(shí)sinθ-cosθ=-

3 2

5

．
故答案為：±

3 2

5

點(diǎn)評：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，以及兩角和與差的正切函數(shù)公式，熟練掌握基本關(guān)系及公式是解本題的關(guān)鍵．