已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，2AB＝2AD＝CD，側(cè)面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD，E是PC上一點(diǎn)．

(1)點(diǎn)E是PC中點(diǎn)時(shí)，求證：BE⊥平面PCD；

(2)在(1)的條件下，求二面角C－BD－E的大小；

(3)當(dāng)E是PC中點(diǎn)時(shí)，在PB上是否存在一點(diǎn)F，使AF∥平面BDE.若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

答案：
解析：

　　(1)證明：取PD中點(diǎn)G，連EG、AG，則∵△PAD是正三角形，∴AG⊥PD，又易知

　　CD⊥平面PAD，∴AG⊥CD，

　　∴AG⊥平面PCD.

　　又∵EG∥CD∥AB，且EG=，

　　∴BE∥AG，從而BE⊥平面PCD.

　　(2)

　　解：取AD中點(diǎn)H，連結(jié)PH、HC，

　　取HC中點(diǎn)N，過N作MN⊥BD于點(diǎn)M，連ME.

　　由條件易得：PH⊥平面ABCD，又N、E分別是HC和PC的中點(diǎn)，∴EN⊥平面ABCD，則由三垂線定理得：EM⊥BD，故∠EMN就是所求二面角的平面角.設(shè)AB=AD=a，則

　　，

　　，

　　∴在Rt△EMN中，

　　，∴所求二面角的大小為

　　(3)存在PB中點(diǎn)F，使AF∥平面BDE.

　　證明：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)Q，取PE中點(diǎn)R，連結(jié)FR，

　　∵AQ：QC=AB：CD=1：2，RE：EC=1：2，

　　∴AR∥QE，∴AR∥平面BDE，又RF∥BE，

　　∴RF∥平面BDE．∴平面AEF∥平面BDE


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•即墨市模擬）已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2a，AB=a，PA⊥平米ABCD，F(xiàn)是線段BC的中點(diǎn)．H為PD中點(diǎn)．
（1）證明：FH∥面PAB；
（2）證明：PF⊥FD；
（3）若PB與平米ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•即墨市模擬）已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2a，AB=a，PA⊥平米ABCD，F(xiàn)是線段BC的中點(diǎn)．H為PD中點(diǎn)．
（1）證明：FH∥面PAB；
（2）證明：PF⊥FD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA•AC=1，∠ABC=θ（0＜θ＜
π2
），則四棱錐P-ABCD的體積V的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•棗莊二模）已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn)．
（1）證明：DF⊥平面PAF；
（2）在線段AP上取點(diǎn)G使AG=
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AP，求證：EG∥平面PFD．

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