Question

13．已知$\overrightarrow a$=（cosx+$\sqrt{3}$sinx，1），$\overrightarrow b$=（y，2cosx），且$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$．
（1）將y表示為x的函數f（x），并求f（x）的單調增區(qū)間．
（2）已知a，b，c分別為△ABC的三個內角∠A，∠B，∠C對應邊的邊長，若f（$\frac{A}{2}$）=3且a=2，S_△ABC=$\sqrt{3}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用向量共線的坐標表示可得$2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-y=0$，利用三角函數恒等變換的應用化簡可得y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，即可解得其增區(qū)間．
（2）由$f（\frac{A}{2}）=3$，可求$A+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，結合范圍0＜A＜π，即可解得$A=\frac{π}{3}$，由余弦定理，可得4=b²+c²-bc，利用三角形面積公式可求bc=4，聯立即可解得b，c的值．

解答 （本題滿分為15分）
解：（1）由$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，$\overrightarrow a$=（cosx+$\sqrt{3}$sinx，1），$\overrightarrow b$=（y，2cosx），
所以$2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-y=0$，
即$y=2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx=cos2x+\sqrt{3}sin2x+1=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，…（4分）
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$，…（6分）
即增區(qū)間為$[{-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ}]，k∈Z$．…（7分）
（2）因為$f（\frac{A}{2}）=3$，
所以$2sin（A+\frac{π}{6}）+1=3，sin（A+\frac{π}{6}）=1$，
所以$A+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
因為0＜A＜π，
所以$A=\frac{π}{3}$．…（10分）
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，即4=b²+c²-bc，…（12分）
由${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$得bc=4，…（14分）
所以b=c=2．…（15分）

點評 本題主要考查了向量共線的坐標表示，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．