Question

若在曲線f（x，y）=0上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的“自公切線”．下列方程：
①x²-y²=1；
②y=x²-|x|；
③y=3sinx+4cosx； 
④|x|+1=

4-y2

對(duì)應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有

②③

．

Answer 1

分析：①x²-y²=1 是一個(gè)等軸雙曲線，沒(méi)有自公切線；
②在 x=

1

2

 和 x=-

1

2

 處的切線都是y=-

1

4

，故②有自公切線．
③此函數(shù)是周期函數(shù)，過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線都重合或過(guò)圖象的最低點(diǎn)的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．
④結(jié)合圖象可得，此曲線沒(méi)有自公切線．

解答：解：①x²-y²=1 是一個(gè)等軸雙曲線，沒(méi)有自公切線；
②y=x²-|x|=

(x- 1 2 )2- 1 4 (x+ 1 2 )2- 1 4

，在 x=

1

2

 和 x=-

1

2

 處的切線都是y=-

1

4

，故②有自公切線．
③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=

3

5

，sinφ=

4

5

，此函數(shù)是周期函數(shù)，過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線都重合或過(guò)圖象的最低點(diǎn)的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．
④由于|x|+1=

4-y2

，即 x²+2|x|+y²-3=0，結(jié)合圖象可得，此曲線沒(méi)有自公切線．
故答案為②③．

點(diǎn)評(píng)：正確理解新定義“自公切線”，正確畫(huà)出函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．