Question

7．已知F是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，PF⊥x軸．若|PF|=$\frac{1}{4}$|AF|，則該橢圓的離心率是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 F（-c，0），A（a，0），把x=-c代入橢圓方程可得：y=±$\frac{^{2}}{a}$，可得|PF|，|AF|=a+c，利用|PF|=$\frac{1}{4}$|AF|，即可得出．

解答 解：F（-c，0），A（a，0），把x=-c代入橢圓方程可得：y²=$^{2}（1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}）$=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
∴|PF|=$\frac{^{2}}{a}$，AF=a+c，
∵|PF|=$\frac{1}{4}$|AF|，
∴$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{1}{4}$（a+c），
∴4（a²-c²）=a²+ac，
化為：4e²+e-3=0，又0＜e＜1，
解得e=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．