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6.已知a為實數(shù),函數(shù)f(x)=alnx+x2-4x.
(Ⅰ)是否存在實數(shù)a,使得f(x)在x=1處取極值?證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在[2,3]上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)g(x)=(a-2)x,若存在x0∈[1e,e],使得f(x0)≤g(x0)成立,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求得函數(shù)的定義域,求導(dǎo),假設(shè)存在實數(shù)a,使f(x)在x=1處取極值,則f′(1)=0,解出a的值,根據(jù)x=1的左右單調(diào)性是否相同,即可判斷x=1是不是極值點;
(Ⅱ)先求出f(x)的導(dǎo)數(shù),將問題轉(zhuǎn)化成,a≥2-2(x-1)2,在x∈[2,3]有解,構(gòu)造輔助函數(shù),利用函數(shù)的求得φ(x)=2-2(x-1)2的最小值,即可求得a的取值范圍.
(Ⅲ)在[1,e]上存在一點x0,使得f(x0)<g(x0)成立,即在[1e,e],上存在一點x0,使得G(x0)<0,即函數(shù)G(x)在[1e,e],上的最小值小于零.對G(x)求導(dǎo).求出G(x)的最小值,即可a的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=ax+2x-4=2x24x+ax,
假設(shè)存在實數(shù)a,使得f(x)下x=1處取極值,則f′(1)=0,
∴a=2,
此時,f(x)=2x12x,
∴當(dāng)0<x<1時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>1時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
∴x=1不是f(x)的極值點,
故不存在實數(shù)a,使得f(x)=1處取極值.
(Ⅱ)f′(x)=2x24x+ax=2x12+a2x(x>0),
問題等價于,存在x∈[2,3],使得f′(x)≥0,即a≥2-2(x-1)2,在x∈[2,3]有解,
∴φ(x)=2-2(x-1)2,在[2,3]上遞減,
∴φmin=φ(3)=-6,
∴a>-6;
(Ⅲ)記F(x)=x-lnx,
∴F′(x)=x1x(x>0),
∴當(dāng)0<x<1,F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x>1時,F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增;
∴F(x)≥F(1)=1>0,即x>lnx,(x>0),
由f(x0)≤g(x0)得:(x0-lnx0)a≥x02-2x0,
∴a≥x202x0x0lnx0
記G(x)=x22xxlnx,x∈[1e,e],
G′(x)=2x2xlnxx2x1xlnx2=x1x2lnx+2xlnx2,
x∈[1e,e],
∴2-2lnx=2(1-lnx)≥0,
∴x-2lnx+2>0,
∴x∈(1e,e)時,G′(x)<0,G(x)遞減,x∈(1,e)時,G′(x)>0,G(x)遞增,
∴a≥G(x)min=G(1)=-1,
故實數(shù)a的取值范圍為[-1,+∞).

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值最值得關(guān)系,以及采用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍,培養(yǎng)了學(xué)生的運用知識解決問題的能力,轉(zhuǎn)化能力和運算能力,屬于難題.

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