Question

 (本小題滿分16分)

已知數(shù)列，，且滿足（）.

（1）若，求數(shù)列的通項公式；

（2）若，且.記，求證：數(shù)列為常數(shù)列；

（3）若，且.若數(shù)列中必有某數(shù)重復出現(xiàn)無數(shù)次，求首項應滿足的條件.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）數(shù)列的通項為. （2）見解析；

（3）當時，數(shù)列中必有某數(shù)重復出現(xiàn)無數(shù)次.

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的通項公式的求解，以及數(shù)列的概念和數(shù)列的單調性的運用。

（1）當時，有累加法得到

 

，也滿足上式，

所以數(shù)列的通項為.

（2）因為，

所以對任意的有，

所以數(shù)列是一個以6為周期的循環(huán)數(shù)列

進而證明為常數(shù)列

（3）因為，且，所以，

且對任意的，有，  

設，（其中為常數(shù)且），所以

，

所以數(shù)列均為以7為公差的等差數(shù)列.記，構造新數(shù)列來分析周期性和最值問題。

（1）當時，有

 ……………………1分

，也滿足上式，

所以數(shù)列的通項為. ………………………………………………………3分

（2）因為，

所以對任意的有，

所以數(shù)列是一個以6為周期的循環(huán)數(shù)列……………………………………………………5分

又因為，所以

所以

，

所以數(shù)列為常數(shù)列. ……………………………………………………………………7分

（3）因為，且，所以，

且對任意的，有，  

設，（其中為常數(shù)且），所以

，

所以數(shù)列均為以7為公差的等差數(shù)列.……………………………………………10分

記，則，

（其中，為中的一個常數(shù)），

當時，對任意的有；…………………………………………12分

當時，

 

①若，則對任意的有，數(shù)列為單調減數(shù)列；

②若，則對任意的有，數(shù)列為單調增數(shù)列；

綜上，當時，數(shù)列中必有某數(shù)重復出現(xiàn)無數(shù)次……………14分

當時，符合要求；當時，符合要求，此時的；

當時，符合要求，此時的；

當時，符合要求，此時的；

當時，符合要求，此時的；

當時，符合要求，此時的；

即當時，數(shù)列中必有某數(shù)重復出現(xiàn)無數(shù)次.………………………16分