Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若m＞0，討論函數(shù)g（x）=f（x）-m（x-1）²零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到所求方程；
（Ⅱ）由題意可得m=$\frac{{e}^{x}}{（x-1）^{2}}$，令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{（x-1）^{2}}$，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值，由圖象討論m的范圍，即可得到所求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x，
函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為k=e，切點(diǎn)為（1，e），
可得函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y-e=e（x-1），
即為y=ex；
（Ⅱ）若m＞0，f（x）-m（x-1）²=0，可得
m=$\frac{{e}^{x}}{（x-1）^{2}}$，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{（x-1）^{2}}$，
可得h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）（x-3）}{（x-1）^{4}}$，
當(dāng)x＞3或x＜1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增；
當(dāng)1＜x＜3時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減．
即有x=3處取得極小值，且為$\frac{{e}^{3}}{4}$；
當(dāng)0＜m＜$\frac{{e}^{3}}{4}$時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，即為1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)m=$\frac{{e}^{3}}{4}$時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，即為2個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)m＞$\frac{{e}^{3}}{4}$時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，即為3個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性和極值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．