精英家教網(wǎng)如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱的長度都為4，點D是B1C1的中點，則異面直線AB1與A1D所成的角是
 
（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．
分析：利用兩個向量數(shù)量積的定義求得
AB1
•
A1D
，由又 
AB1
•
A1D
=（
AB
+
BB1
）•（
AB
+
1
2
BC
）求得
AB1
•
A1D
，進(jìn)而可得cos＜
AB1
，
A1D
＞=
1
4
，最后求出異面直線AB1與BC1所成的角即可．
解答：解：
AB1
•
A1D
=4
2
×2
3
cos＜
AB1
，
A1D
＞=8
6
cos＜
AB1
，
A1D
＞．
又 
AB1
•
A1D
=（
AB
+
BB1
）•（
AB
+
1
2
BC
）=12
故有 8
6
cos＜
AB1
，
A1D
＞=12，
∴cos＜
AB1
，
A1D
＞=
6
4
，
∴＜
AB1
，
A1D
＞=arccos
6
4
，
故異面直線AB1與A1D所成的角是 arccos
6
4
，
故答案為：arccos
6
4
．
點評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，求出cos＜
AB1
，
A1D
＞的值，是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側(cè)棱長是
3
，D是AC的中點．
（Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的大��；
（Ⅲ）求點A到平面A1BD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年唐山一中調(diào)研二） 如圖所示，正三棱柱的底面邊長為a，點M在BC上，是以點M為直角頂點的等腰直角三角形。

   （Ⅰ）求證：點M為邊BC的中點；

   （Ⅱ）求點C到平面的距離；

   （Ⅲ）求二面角的大小。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：同步題 題型：證明題

如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長均為a，D、E分別為C1C與AB的中點，A1B交AB1于G。

（1）求證：A1B⊥AD；
（2）求證：CE∥平面AB1D。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年四川省雅安中學(xué)高二（下）4月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側(cè)棱長是，D是AC的中點．
（Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的大��；
（Ⅲ）求點A到平面A1BD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年四川省宜賓市高三（上）調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側(cè)棱長是，D是AC的中點．
（Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的大��；
（Ⅲ）求點A到平面A1BD的距離．

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