Question

已知函數f（x）=x³-ax²+3x；
（1）若函數在x=1處的切線與直線x+2y-1=0垂直，求實數a的值；
（2）若函數在區(qū)間[1，+∞）內為增函數，求實數a的范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：（1）由題意可得f′（1）=2，解方程可求a；
（2）函數在區(qū)間[1，+∞）內為增函數，等價于f′（x）≥0在[1，+∞）內恒成立，分離參數后化為函數最值即可，利用基本不等式可求最值；

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2ax+3，
∵函數在x=1處的切線與直線x+2y-1=0垂直，
∴f′（1）=2，即3-2a+3=2，解得a=2．
（2）∵函數在區(qū)間[1，+∞）內為增函數，
∴f′（x）≥0即3x²-2ax+3≥0在[1，+∞）內恒成立，
∴a≤

3

2

（x+

1

x

），
而

3

2

(x+

1

x

)≥

3

2

•2

x• 1 x

=3，當且僅當x=1時取等號，
∴a≤3．

點評：該題考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性，考查恒成立，屬中檔題．