Question

19．已知定義在R上的偶函數f（x）在[0，+∞）上遞減，且f（1）=0，則不等式f（log₄x）+f（log$\frac{1}{4}$x）≥0的解集為[$\frac{1}{4}$，4]．

Answer 1

分析 根據對數的運算性質進行化簡，結合函數奇偶性和單調性的關系將不等式進行轉化求解即可．

解答 解：∵定義在R上的偶函數f（x）在[0，+∞）上遞減，且f（1）=0，
∴不等式f（log₄x）+f（log$\frac{1}{4}$x）≥0等價為不等式f（log₄x）+f（-log₄x）≥0
即2f（log₄x）≥0，則f（|log₄x|）≥f（1），
即|log₄x|≤1，即-1≤log₄x≤1，
則-$\frac{1}{4}$≤x≤4，
即不等式的解集為[$\frac{1}{4}$，4]，
故答案為：[$\frac{1}{4}$，4]．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據函數奇偶性和單調性的性質將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．