Question

過點P(2，4)作兩條互相垂直的直線l₁、l₂，若l₁交x軸于A點，l₂交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程.

Answer 1

解法一:設點M的坐標為(x，y).

∵M為線段AB的中點，

∴A的坐標為(2x，0)，B的坐標為(0，2y).

∵l₁⊥l₂，且l₁、l₂過點P(2，4)，

∴PA⊥PB，k_PA·k_PB＝－1.而k_PA＝(x≠1)，k_PB＝，

∴·=－1(x≠1).

整理，得x＋2y－5=0(x≠1).

∵當x=1時，A、B的坐標分別為(2，0)、(0，4),

∴線段AB的中點坐標是(1，2)，它滿足方程x＋2y－5=0.

綜上所述，點M的軌跡方程是x＋2y－5=0.

解法二:設M的坐標為(x，y)，則A、B兩點的坐標分別是(2x，0)、(0，2y)，連結(jié)PM.

∵l₁⊥l₂，∴2|PM|＝|AB|.

而|PM|＝，|AB|＝，

∴2=.

化簡，得x＋2y－5=0為所求軌跡方程.

解法三:∵l₁⊥l₂，OA⊥OB，

∴O、A、P、B四點共圓，且該圓的圓心為M.

∴|MP|=|MO|.

∴點M的軌跡為線段OP的中垂線.

∵k_OP==2，OP的中點坐標為(1，2)，

∴點M的軌跡方程是y－2=－(x－1)，即x＋2y－5=0.

點評:在平面直角坐標系中，遇到垂直問題，常利用斜率之積等于－1解題，但需注意斜率是否存在，即往往需要討論，如解法一.求軌跡方程有時利用平面幾何知識更為方便快捷.