已知函數(shù)f(x)=ax2-2x+lnx.
(Ⅰ)若f(x)無極值點,但其導函數(shù)f'(x)有零點,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)有兩個極值點,求a的取值范圍,并證明f(x)的極小值小于數(shù)學公式

解 (Ⅰ)首先,x>0
f′(x)有零點而f(x)無極值點,表明該零點左右f′(x)同號,故a≠0,且2ax2-2x+1=0的△=0.由此可得
(Ⅱ)由題意,2ax2-2x+1=0有兩不同的正根,故△>0,a>0.
解得:
設2ax2-2x+1=0的兩根為x1,x2,不妨設x1<x2,
因為在區(qū)間(0,x1),(x2,+∞)上,f′(x)>0,
而在區(qū)間(x1,x2)上,f′(x)<0,故x2是f(x)的極小值點.
因f(x)在區(qū)間(x1,x2)上f(x)是減函數(shù),如能證明,則更有
由韋達定理,,
,其中設,
利用導數(shù)容易證明g(t)當t>1時單調遞減,而g(1)=0,
∴g(t)=lnt- t+<0,
因此f()<-,
從而有f(x)的極小值f(x2)<-
分析:(Ⅰ)首先,x>0利用f′(x)有零點而f(x)無極值點,表明該零點左右f′(x)同號,故△=0.由此可得即可;
(Ⅱ)先由題意,2ax2-2x+1=0有兩不同的正根,故△>0,解得:,再設2ax2-2x+1=0的兩根為x1,x2,不妨設x1<x2,利用導數(shù)研究函數(shù)f(x)的極值點,從而得出證明.
點評:解決本題時要注意題目中所應用的函數(shù)的思想,要使的函數(shù)無極值點,表明該零點左右f′(x)同號即可,這種思想經常用到.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
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34
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(-∞,-2)
(-∞,-2)

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2x
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