Question

1．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=n²，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．已知a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)（a_n+1）•log₃b_n+2•c_n=1，求證：數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n＜$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 （I）由S_n=n²，利用遞推關(guān)系即可得出a_n．由于數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．已知a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．分別令n=1，2，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（Ⅱ）由于（a_n+1）•log₃b_n+2•c_n=2n（n+2）•c_n=1，可得c_n=$\frac{1}{2n（n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），再利用“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （Ⅰ）解：當(dāng)n≥2時(shí)，∵a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
n=1時(shí)，a₁=S₁=1，滿足上式，
∴a_n=2n-1．
∵a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3，
∴a₁b₁=3，a₁b₁+a₂b₂=30，
解得b₁=3，b₂=9．
∴{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=3ⁿ．  
（Ⅱ）證明：由（I）可得：（a_n+1）•log₃b_n+2•c_n=2n（n+2）•c_n=1，
∴c_n=$\frac{1}{2n（n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）
+…+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．