Question

給定橢圓C：+=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 若橢圓C的一個焦點為F₂（，0），其短軸上的一個端點到F₂距離為．
（1）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）若過點P（0，m）（m＜0）的直線與橢圓C只有一個公共點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2，求m的值；
（3）過橢圓C的“伴橢圓”上一動點Q作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個公共點，當直線l₁，l₂都有斜率時，試判斷直線l₁，l₂的斜率之積是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓標準方程及其a、b、c的關系即可得出橢圓方程，進而得到“伴橢圓”的方程；
（2）利用點到直線的距離公式、、及直線與橢圓相切的性質即可得出；
（3）利用（2）的結論及點Q的坐標滿足“伴橢圓”的方程即可證明．
解答：解：（1）由題意可知：，a=，∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓方程為：，；
∴橢圓C的“伴橢圓”方程為：x²+y²=4．
（2）設直線方程為：y=kx+m
∵截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為，
∴圓心到直線的距離d=，
∵，∴d²=2，∴m²=2（1+k²）．（*）
又得（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0，
∵直線l與橢圓相切，
∴△=1+3k²-m²=0，
把（*）代入上式得m²=4，∵m＜0，解得m=-2．
∴m=-2．
（3）設Q（x，y），直線y-y=k（x-x），
由（2）可知，
即，∴，
又∵Q（x，y）在“伴橢圓”上，∴，∴．
∴k₁k₂=-1為定值．
點評：熟練掌握橢圓標準方程及其a、b、c的關系、點到直線的距離公式、、及直線與橢圓相切的性質、“伴橢圓”的定義是解題的關鍵．