Question

8．函數(shù)f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）（x∈R）的圖象為C，如下結(jié)論中正確的是①②③④⑤（寫(xiě)出所在正確結(jié)論的編號(hào)）．
①圖象C關(guān)于直線x=$\frac{11}{12}$π對(duì)稱(chēng)；
②圖象C關(guān)于點(diǎn)（$\frac{2π}{3}$，0）對(duì)稱(chēng)；
③函數(shù)f（x）在區(qū)間（-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$）內(nèi)是增函數(shù)；
④由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是$\frac{π}{4}$的整數(shù)倍；
⑤函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式可以改寫(xiě)為f（x）=3cos（2x+$\frac{7π}{6}$）；
⑥將圖象C向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)．

Answer 1

分析 先將三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后分別利用三角函數(shù)的圖形和性質(zhì)去判斷．①將$x=\frac{11π}{12}$代入，比較是不是最值．②將點(diǎn)$（\frac{2π}{3}，0）$代入函數(shù)，滿(mǎn)足即為對(duì)稱(chēng)中心．③利用函數(shù)的單調(diào)性去判斷區(qū)間．④求出函數(shù)的周期進(jìn)行判斷，⑤根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷，⑥通過(guò)平移結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性進(jìn)行判斷．

解答 解：①當(dāng)x=$\frac{11}{12}$π時(shí)，f（$\frac{11}{12}$π）=3sin（2×$\frac{11}{12}$π-$\frac{π}{3}$）=3sin$\frac{3π}{2}$=-3為最小值，所以$x=\frac{11π}{12}$是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以①正確．
②當(dāng)$x=\frac{2π}{3}$時(shí)，f（$\frac{2π}{3}$）=3sin（2×$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=3sinπ=0，所以圖象C關(guān)于點(diǎn)$（\frac{2π}{3}，0）$對(duì)稱(chēng)，所以②正確．
③當(dāng)$-\frac{π}{12}＜x＜\frac{5π}{12}$時(shí)，$-\frac{π}{6}＜2x＜\frac{5π}{6}，-\frac{π}{2}＜2x-\frac{π}{3}＜\frac{π}{2}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以③正確．
④函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{2}=π$，則由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂=k$•\frac{T}{2}$=$\frac{kπ}{2}$，即x₁-x₂必是$\frac{π}{2}$的整數(shù)倍；故④正確，
⑤f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）=3cos[$\frac{π}{2}$-（2x-$\frac{π}{3}$）]=3cos（$\frac{5}{6}$π-2x）=3cos（2x-$\frac{5}{6}$π）=3cos（2x+2π-$\frac{5}{6}$π）=3cos（2x+$\frac{7π}{6}$），故⑤正確，
⑥由y=3sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=3sin[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=3sin（2x+$\frac{π}{3}$），此時(shí)函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故⑥錯(cuò)誤，
所以正確的是①②③④⑤
故答案為：①②③④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先利用輔助角公式將三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后在研究相應(yīng)的性質(zhì)．綜合考查三角函數(shù)的性質(zhì)．