Question

已知函數(shù)，．

（1）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，試討論這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

 

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)，的圖象無交點(diǎn),當(dāng)，的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到；（2）解決類似的問題時(shí)，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值．求函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得．（3）分類討論是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)，要找好臨界條件進(jìn)行討論．（4）利用兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

試題解析：【解析】
（1）

若使存在單調(diào)遞減區(qū)間，則在上有解

而當(dāng)時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為

在上有解，故大于函數(shù)在的最小值

又在上的最小值為-1，所以

令

函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

令，解得

隨著的變化，的變化情況如表：

①當(dāng)，即時(shí)，恒大于0，函數(shù)無零點(diǎn)．

②當(dāng)，即時(shí),由上表，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

③，即，顯然

，所以

又在內(nèi)單調(diào)遞減，

所以在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，

由指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度的快慢，知存在

使得，從而

因而

又在內(nèi)單調(diào)遞增，

在上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，

所以在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

因此，使，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

綜上，當(dāng)，的圖象無交點(diǎn)

當(dāng)，的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)

當(dāng)，的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)

考點(diǎn)：（1）利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍；（2）求函數(shù)的最值；（3）函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)