Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+5，在函數(shù)f（x）圖象上一點(diǎn)P（1，f（1））處切線的斜率為3．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=-2時有極值，求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件知，f'（1）=3，即2a+b=0  ①，再由f'（-2）=0，即12-4a+b=0 ②，①②聯(lián)立解得a，b的值，
從而得到f（x）的解析式．
（2）依題意f'（x）在[-2，1]上恒有f'（x）≥0，分y=f'（x）的對稱軸 在區(qū)間的左側(cè)、右側(cè)、中間三種
情況求得f'（x）的 最小值，由最小值大于或等于0求出b的取值范圍．
解答：解：由f（x）=x³+ax²+bx+5，求導(dǎo)數(shù)得f'（x）=3x²+2ax+b，
由在函數(shù)f（x）圖象上一點(diǎn)P（1，f（1））處切線的斜率為3，知f'（1）=3，即3+2a+b=3，
化簡得2a+b=0  ①．
（1）因?yàn)閥=f（x）在x=-2（3）時有極值，所以，f'（-2）=0，即12-4a+b=0 ②．
由①②聯(lián)立解得a=2，b=-4，∴f（x）=x³+2x²-4x+5．
（2）f'（x）=3x²+2ax+b，由①知2a+b=0，∴f'（x）=3x²-bx+b．y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調(diào)遞增，
依題意f'（x）在[-2，1]上恒有f'（x）≥0，即  3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立，
下面討論函數(shù)y=f'（x）的對稱軸：
當(dāng)  時，f'（x）_min =f'（1）=3-b+b＞0，∴b≥6．
當(dāng)  時，f'（x）_min =f'（-2）=12+2b+b≥0，無實(shí)數(shù)解．
當(dāng)  時，，∴0≤b＜6．
綜合上述討論可知，b的取值范圍是b|b≥0．
點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識，考查分類討論，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，
以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力．