Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且對任意的n∈N^*，都有a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=n•2ⁿ⁺³．
（Ⅰ）若{b_n}的首項為4，公比為2，求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）若a_n=4n+4，試探究：數(shù)列{b_n}中是否存在某一項，它可以表示為該數(shù)列中其它r（r∈N，r≥2）項的和？若存在，請求出該項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列的通項，即可求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）因為a_n=4n+4，a_nb_n=（n+1）•2ⁿ⁺²，所以bn=2n，假設數(shù)列{b_n}中第k項可以表示為該數(shù)列中其它r，r∈N，r≥2）項b_t1，…，b_tr，（t₁＜t₂＜…＜t_r）的和，可得k≥t_r+1根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，可得k＜t_r+1，從而可得結論．

解答： 解：（Ⅰ）因為a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=n•2ⁿ⁺³，
所以當n≥2時，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-1）•2ⁿ⁺²，
兩式相減，得a_nb_n=n•2ⁿ⁺³-（n-1）•2ⁿ⁺²=（n+1）•2ⁿ⁺²，
而當n=1時，a₁b₁=16，適合上式，從而a_nb_n=（n+1）•2ⁿ⁺²，…（3分）
又因為{b_n}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，即b_n=2ⁿ⁺¹，
所以a_n=2n+2，…（4分）
從而數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和S_n=

n(4+2n+2)

2

+

4(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺²+n²+3n-4；…（6分）
（Ⅱ）因為a_n=4n+4，a_nb_n=（n+1）•2ⁿ⁺²，所以bn=2n，…．（8分）
假設數(shù)列{b_n}中第k項可以表示為該數(shù)列中其它r，r∈N，r≥2）項b_t1，…，b_tr，（t₁＜t₂＜…＜t_r）的和，
即b_k=b_t1+…+b_tr，從而2^k=2t1+…+2tr，易知k≥t_r+1，（*） …（9分）
又2^k=2t1+…+2tr≤2+2²+…+2tr=

2(1-2tr)

1-2

=2tr+1-1＜2tr+1，
所以k＜t_r+1，此與（*）矛盾，從而這樣的項不存在． …（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．