已知A、B分別是直線y=
3
3
x
y=-
3
3
x
上的兩個動點,線段AB的長為2
3
,P是AB的中點.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)過點Q(1,0)作直線l(與x軸不垂直)與軌跡C交于M、N兩點,與y軸交于點R.若
RM
MQ
,
RN
NQ
,證明:λ+μ為定值.
分析:(1)設P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).P是線段AB的中點,A、B分別是直線y=
3
3
x
y=-
3
3
x
上的點,y1=
3
3
x1
y2=-
3
3
x2
.再由|
AB
|=2
3
知動點P的軌跡C的方程為
x2
9
+y2=1

(2)依題意,直線l的斜率存在,故可設直線l的方程為y=k(x-1).設M(x3,y3)、N(x4,y4)、R(0,y5),則M、N兩點坐標滿足方程組
y=k(x-1) 
x2
9
+y2=1 .
消去y并整理,得(1+9k2)x2-18k2x+9k2-9=0,然后利用根與系數(shù)的關系進行求解.
解答:解:(1)設P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).
∵P是線段AB的中點,∴
x=
x1+x2
2
y=
y1+y2
2
(2分)
∵A、B分別是直線y=
3
3
x
y=-
3
3
x
上的點,
y1=
3
3
x1
y2=-
3
3
x2

x1-x2=2
3
y
y1-y2=
2
3
3
x
(4分)
|
AB
|=2
3
,∴(x1-x22+(y1-y22=12.(5分)
12y2+
4
3
x2=12

∴動點P的軌跡C的方程為
x2
9
+y2=1
.(6分)
(2)依題意,直線l的斜率存在,故可設直線l的方程為y=k(x-1).(7分)
設M(x3,y3)、N(x4,y4)、R(0,y5),
則M、N兩點坐標滿足方程組
y=k(x-1) 
x2
9
+y2=1 .

消去y并整理,得(1+9k2)x2-18k2x+9k2-9=0,(9分)
x3+x4=
18k2
1+9k2
,①x3x4=
9k2-9
1+9k2
.②(10分)
RM
MQ
,∴(x3,y3)-(0,y5)=λ[(1,0)-(x3,y3)].
x3=λ(1-x3
y3-y5=-λy3 .

∴x3=λ(1-x3).∵l與x軸不垂直,∴x3≠1,
λ=
x3
1-x3

同理μ=
x4
1-x4
.(12分)
λ+μ=
x3
1-x3
+
x4
1-x4
=
(x3+x4)-2x3x4
1-(x3+x4)+x3x4

將①②代入上式可得λ+μ=-
9
4
.(14分)
點評:本題主要考查直線與橢圓的有關知識、求軌跡方程的方法,以及運算求解和推理論證能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A、B分別是直線y=
3
3
x
y=-
3
3
x
上的兩個動點,線段AB的長為2
3
,D是AB的中點.
(1)求動點D的軌跡C的方程;
(2)過點N(1,0)作與x軸不垂直的直線l,交曲線C于P、Q兩點,若在線段ON上存在點M(m,0),使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A,B分別是直線y=x和y=-x上的兩個動點,線段AB的長為2
3
,D是AB的中點.
(1)求動點D的軌跡C的方程;
(2)若過點(1,0)的直線l與曲線C交于不同兩點P、Q,
①當|PQ|=3時,求直線l的方程;
②設點E(m,0)是x軸上一點,求當
PE
QE
恒為定值時E點的坐標及定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A,B分別是直線y=x和y=-x上的兩個動點,線段AB的長為2
3
,D是AB的中點.
(1)求動點D的軌跡C的方程;
(2)若過點(1,0)的直線l與曲線C交于不同兩點P、Q,
①當|PQ|=3時,求直線l的方程;
②試問在x軸上是否存在點E(m,0),使
PE
QE
恒為定值?若存在,求出E點的坐標及定值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A、B分別是直線y=
3
3
x
y=-
3
3
x
上的兩個動點,線段AB的長為2
3
,P是AB的中點.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)過點Q(1,0)任意作直線l(與x軸不垂直),設l與(1)中軌跡C交于M、N,與y軸交于R點.若
RM
MQ
RN
NQ
,證明:λ+μ 為定值.

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