Question

16．2016年是我國(guó)重點(diǎn)打造“智慧城市”的一年，主要在“智慧技術(shù)、智慧產(chǎn)業(yè)、智慧應(yīng)用、智慧服務(wù)、智慧治理、智慧人文、智慧生活”7個(gè)方面進(jìn)行智慧化．現(xiàn)假設(shè)某一城市目前各項(xiàng)指標(biāo)分?jǐn)?shù)x（滿分10分）與智慧城市級(jí)別y（級(jí)）的有關(guān)數(shù)據(jù)如表：

項(xiàng)目	智慧技術(shù)	智慧產(chǎn)業(yè)	智慧應(yīng)用	智慧服務(wù)	智慧治理	智慧人文	智慧生活
指標(biāo)分?jǐn)?shù)x	6.8	7	6.8	6.8	7.2	7	7.4
智慧級(jí)別y	9	8.8	9	9.1	9.2	8.8	9.1

（1）請(qǐng)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）從智慧城市級(jí)別的7項(xiàng)指標(biāo)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)指標(biāo)，級(jí)別在區(qū)間[9.1，10）內(nèi)記10分，在區(qū)間[9，9.1）內(nèi)記6分，在區(qū)間[8，9）內(nèi)記5分．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2項(xiàng)指標(biāo)考查，記得分總和為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x）}（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)回歸系數(shù)公式計(jì)算回歸系數(shù)，得出回歸方程；
（2）根據(jù)各項(xiàng)指標(biāo)的分?jǐn)?shù)分布得出ξ的取值情況，計(jì)算各種可能的概率得到分布列，代入公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{7}×（6.8+7+6.8+6.8+7.2+7+7.4）$=7，
$\overline{y}=\frac{1}{7}×（9+8.8+9+9.1+9.2+8.8+9.1）$=9．
$\sum_{i=1}^{7}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=0+0+0+（-0.2）×0.1+0.2×0.2+0+0.4×0.1=0.06．
$\sum_{i=1}^{7}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=0.04+0+0.04+0.06+0.04+0+0.16=0.34．
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{0.06}{0.34}$=$\frac{3}{17}$.$\stackrel{∧}{a}$=9-$\frac{3}{17}×7$=$\frac{132}{17}$．
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{3}{17}x$+$\frac{132}{17}$．
（2）級(jí)別在[9.1，10）內(nèi)的有3項(xiàng)，在區(qū)間[9，9.1）內(nèi)的有兩項(xiàng)，在區(qū)間[8，9）內(nèi)的有兩項(xiàng)．
∴從中隨機(jī)抽取2項(xiàng)指標(biāo)考查，總得分ξ的取值集合為{10，11，12，15，16，20}．
從7項(xiàng)指標(biāo)中隨機(jī)抽取兩項(xiàng)共有${C}_{7}^{2}$=21個(gè)基本事件，
P（ξ=10）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{21}=\frac{1}{21}$，P（ξ=11）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{21}=\frac{4}{21}$，P（ξ=12）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{21}=\frac{1}{21}$，
P（ξ=15）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{21}=\frac{2}{7}$，P（ξ=16）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{21}=\frac{2}{7}$，P（ξ=20）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{21}=\frac{1}{7}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	10	11	12	15	16	20
P	$\frac{1}{21}$	$\frac{4}{21}$	$\frac{1}{21}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{1}{7}$

∴ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）=10×$\frac{1}{21}$+11×$\frac{4}{21}$+12×$\frac{1}{21}$+15×$\frac{2}{7}$+16×$\frac{2}{7}$+20×$\frac{1}{7}$=$\frac{104}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了回歸方程的求解，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．