已知圓C的圓心在直線上，并且與直線相切于點A（2，－1）.

（Ⅰ）求圓C的方程；

（Ⅱ）從圓C外一點M引圓C的切線MN，N為切點，且MN＝MO（O為坐標原點），求MN的最小值.

 

【答案】

（1）；（2）MN的最小值為此時點M的坐標為.

【解析】本試題主要是考查了直線與圓的方程，以及圓的切線方程的綜合知識的運用。第一問中求解圓的方程，確定圓心和半徑即可。第二問中，；利用設坐標，表示MN＝MO，然后化簡得到MN為一個元的二次函數(shù)形式，借助于二次函數(shù)的性質(zhì)求解其最值的數(shù)學思想的運用。

解：（1）與直線相切于點A（2，－1）的圓的圓心在經(jīng)過點A且與直線 垂直的直線上，該直線的方程是.                            …………2分

又所求圓的圓心在直線上，解方程組

                                                 

得x＝1，y＝－2.

所以圓心C的坐標是（1，－2）.                                    …………4分

因為|AC|＝，                            …………5分

所以所求圓的方程為…………6分

（2）設M（x，y），則MO＝，MN＝，

由MN＝MO，得，                              …………8分

MN＝MO＝＝

…………11分

當時，MN＝因此，MN的最小值為此時點M的坐標為.

…………13分

 

練習冊系列答案
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7
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（2）直線l過點P（2，1）且與圓C相交的弦長為2
6
，求直線l的方程．
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