Question

過直線y=x上的一點(diǎn)P作圓（x-5）²+（y-1）²=2的兩條切線l₁，l₂，A，B為切點(diǎn)，當(dāng)直線l₁，l₂關(guān)于直線y=x對(duì)稱時(shí)，∠APB=

 

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Answer 1

分析：判斷圓心與直線的關(guān)系，在直線上求出特殊點(diǎn)，P的方程，利用切線長(zhǎng)、半徑以及該點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成直角三角形，求出∠APB的值．

解答：解：顯然圓心（5，1）不在直線y=x上．
由對(duì)稱性可知，只有直線y=x上的特殊點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)與圓心連線垂直于直線y=x，從這點(diǎn)做切線才能關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
所以該點(diǎn)與圓心連線所在的直線方程為：y-1=-（x-5）即 y=6-x
與 y=x聯(lián)立可求出該點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），
所以該點(diǎn)到圓心的距離為（（5-3）²+（1-3）²=2

2

切線長(zhǎng)、半徑以及該點(diǎn)與圓形連線構(gòu)成直角三角形，又知圓的半徑為

2

所以夾角的一半的正弦值為

2

2 2

=

1

2

所以夾角∠APB=60°
故答案為：60°

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓相切的關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，常考題型．