函數(shù)f（x ）=αsin
πx
2
+bcos
πx
2
的一個(gè)零點(diǎn)為
1
3
，且f（
17
15
）＞f（
11
6
）＞0，對(duì)于下列結(jié)論：
①f（
7
3
）=0；②．f（x）≤f(
4
3
)；③．f(
13
12
) =f(
19
12
)；
④f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[2k-
2
3
，2k+
4
3
] ，(k∈R)；
⑤f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[4K+
10
3
，4K+
16
3
]  ，(k∈Z)．
其中正確的有
①②③⑤
①②③⑤
．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）
分析：利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用周期、零點(diǎn)求出輔助角，畫(huà)出函數(shù)的圖象，判斷①②③④⑤，即可得到正確選項(xiàng)．
解答：解：函數(shù)f（x ）=asin
πx
2
+bcos
πx
2
=
a2+b2
sin（
πx
2
+θ）其中tanθ=
b
a
，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的周期為4，一個(gè)零點(diǎn)為
1
3
，
所以
π
6
+θ=0，θ=-
π
6
，所以函數(shù)f（x ）=
a2+b2
sin（
πx
2
-
π
6
），f（
17
15
）＞f（
11
6
）＞0，畫(huà)出圖象，
所以①正確；
②．f(
4
3
)=
a2+b2
sin(
2π
3
-
π
6
) =
a2+b2
，所以f（x）≤f(
4
3
)；正確．
③f(
13
12
) =
a2+b2
sin
9π
24
，
f(
19
12
)=
a2+b2
sin
15π
24
=
a2+b2
sin
9π
24
，所以f(
13
12
) =f(
19
12
)正確；
因?yàn)?span id="rfbvztf" class="MathJye">
πx
2
-
π
6
∈[2kπ+
π
2
，2kπ+
3π
2
]，k∈Z，
所以x∈[2k-
2
3
，2k+
4
3
] ，(k∈R)函數(shù)不是減函數(shù)，④不正確；
因?yàn)?span id="ztrdpjd" class="MathJye">
πx
2
-
π
6
∈[2kπ-
π
2
，2kπ+
π
2
]k∈Z，
所以x∈[4K+
10
3
，4K+
16
3
]  ，(k∈Z)函數(shù)是增函數(shù)，⑤正確．
故答案為：①②③⑤．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，函數(shù)的周期、單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列命題：
①y=x2是冪函數(shù)        
②函數(shù)f（x）=2x-x2的零點(diǎn)有2個(gè)
③(x2+
1
x2
+2)5展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)是6項(xiàng)
④函數(shù)y=sinx（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=
∫
π
-π
sinxdx
⑤若ξ～N（1，σ2），且P（0≤ξ≤1）=0.3，則P（ξ≥2）=0.2
其中真命題的序號(hào)是
 
（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1(1-x)n
，g（x）=aln（x-1），其中n∈N*，a為常數(shù)．
（1）當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的極值；
（2）若對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)s≥2，x≥2時(shí)，f（s）+g（x）≤x-1．求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

以O(shè)為原點(diǎn)，
OF
所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)
OF
•
FG
=1，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，0），t∈[3，+∞）．點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x0，y0）．
（1）求x0關(guān)于t的函數(shù)x0=f（t）的表達(dá)式，并判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）設(shè)△OFG的面積S=
31
6
t，若O以為中心，F(xiàn)，為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，求當(dāng)|
OG
|取最小值時(shí)橢圓的方程．
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，
9
2
)，C，D是橢圓上的兩點(diǎn)，
PC
=λ
PD
(λ≠1)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•湖北）設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）證明：
nr+1-(n-1)r+1
r+1
＜nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
；
（Ⅲ）設(shè)x∈R，記[x]為不小于x的最小整數(shù)，例如[2]=2，[π]=4，[-
3
2
]=-1．令S=
381
+
382
+
383
+…+
3125
，求[S]的值．
（參考數(shù)據(jù)：80
4
3
≈344.7，81
4
3
≈350.5，124
4
3
≈618.3，126
4
3
≈631.7)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)選作題：考生任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
A 如圖，△ABC的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E．
（I）證明：△ABE∽△ADC
（II）若△ABC的面積S=
1
2
AD•AE，求∠BAC的大�。�
B 已知曲線C1：
x=-4+cost
y=3+sint
（t為參數(shù)），C2：
x=8cosθ
y=3sinθ
（θ為參數(shù)）．
（1）化C1，C2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；
（2）若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=
π
2
，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：
x=3+2t
y=-2+t
（t為參數(shù)）距離的最小值．                
C 已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（x）+f（x+5）≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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同步練習(xí)冊(cè)答案