Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，右焦點到直線l₁：3x+4y=0的距離為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l₂：y=kx+m（km≠0）與橢圓C交于A、B兩點，且線段AB中點恰好在直線l₁上，求△OAB的面積S的最大值．（其中O為坐標(biāo)原點）．

Answer 1

解：（Ⅰ）由右焦點到直線l₁：3x+4y=0的距離為，得，解得c=1，
又e=，所以a=2，b²=a²-c²=3，
所以橢圓C的方程為；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線l₂：y=kx+m代入橢圓方程得到：
（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
因此，，
所以AB中點M（，），
又M在直線l₁上，得3×+=0，
因為m≠0，所以k=1，故，，
所以|AB|==•=，
原點O到AB的距離為d=，
得到S=≤，當(dāng)且僅當(dāng)m²=取到等號，檢驗△＞0成立．
所以△OAB的面積S的最大值為．
分析：（Ⅰ）由點到直線的距離公式可得，得c值，由離心率可得a值，再由b²=a²-c²可得b值；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線l₂：y=kx+m代入橢圓方程得到：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，利用韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式可得AB中點橫坐標(biāo)，代入l₂得縱坐標(biāo)，由中點在直線l₁上可求得k值，用點到直線的距離公式求得原點O到AB的距離為d，弦長公式求得|AB|，由三角形面積公式可表示出S_△OAB，變形后用不等式即可求得其最大值；
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查弦長公式、點到直線的距離公式及用不等式求函數(shù)最值，考查函數(shù)思想．