Question

設(shè)函數(shù)f（x）=tanx-8sinx，其中．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對，，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f（x）=tanx-8sinx，得，
即 ，其中，解得，，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：，遞減區(qū)間是．
（2）若對，，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，
只需|f（x₁）-f（x₂）|_max≤a．
由（1）得 f（x）在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時，-≤f（x₁）≤0，
同理，-≤f（x₂）≤0，
所以，-≤f（x₁）-f（x₂）≤，
所以0≤|f（x₁）-f（x₂）|≤，
所以|f（x₁）-f（x₂）|_max=，
所以，a≥．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）對，，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，等價于|f（x₁）-f（x₂）|_max≤a，由此可求實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．