【題目】如圖，在四棱柱中，底面為等腰梯形，，.平面平面，四邊形為菱形，.

（1）求證：；

（2）求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

方法一（幾何法）：（1）通過證明，證得平面，由此證得；（2）作出直線與平面所成角，利用兩角差的正切公式，求得線面角的正切值，再轉(zhuǎn)化為正弦值.

方法二（向量法）：（1）取中點，連接，證得底面，由此以為原點建立空間直角坐標系，通過計算，證得.（2）由（1）計算出直線的方向向量和平面的法向量，由此計算出與平面所成角的正弦值.

方法一、

（1）連接、，取中點，連接、.

∵等腰梯形中，，.

∴，.

又∵在菱形中，，∴.

又平面平面，交線為，∴底面.

∵，，

∴四邊形為平行四邊形，.

∴底面，∴，

又∵，相交，∴平面，

∴.

（2）取中點，連接，，，，相交于點，連接，顯然平面平面.

∵平面，∴平面平面，∴平面平面，交線為，∴為與平面所成角.

∵，，

∴，∴由解得.∴與平面所成角的正弦值為.

方法二、

（1）取中點，連接.

∵四邊形為菱形，，∴.

又平面平面，交線為，∴底面.

以為原點如圖建立空間直角坐標系，

則，，，，.

∴，

，

∴，∴.

（2），設(shè)平面的法向量為，則，取，.

∴與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】第二屆中國國際進口博覽會于2019年11月5日至10日在上海國家會展中心舉行.它是中國政府堅定支持貿(mào)易自由化和經(jīng)濟全球化，主動向世界開放市場的重要舉措，有利于促進世界各國加強經(jīng)貿(mào)交流合作，促進全球貿(mào)易和世界經(jīng)濟增長，推動開放世界經(jīng)濟發(fā)展.某機構(gòu)為了解人們對“進博會”的關(guān)注度是否與性別有關(guān)，隨機抽取了100名不同性別的人員（男、女各50名）進行問卷調(diào)查，并得到如下列聯(lián)表：

男性

女性

合計

關(guān)注度極高

35

14

49

關(guān)注度一般

15

36

51

合計

50

50

100

（1）根據(jù)列聯(lián)表，能否有99.9%的把握認為對“進博會”的關(guān)注度與性別有關(guān)；

（2）若從關(guān)注度極高的被調(diào)查者中按男女分層抽樣的方法抽取7人了解他們從事的職業(yè)情況，再從7人中任意選取2人談?wù)勱P(guān)注“進博會”的原因，求這2人中至少有一名女性的概率.

附：.

參考數(shù)據(jù)：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（理）在長方體中，，，，點在棱上移動．

（1）探求多長時，直線與平面成角；

（2）點移動為棱中點時，求點到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，為坐標原點，C、D兩點的坐標為,曲線上的動點P滿足.又曲線上的點A、B滿足.

（1）求曲線的方程；

（2）若點A在第一象限，且，求點A的坐標；

（3）求證：原點到直線AB的距離為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：（），過原點的兩條直線和分別與交于點、和、，得到平行四邊形.

（1）若，，且為正方形，求該正方形的面積.

（2）若直線的方程為，和關(guān)于軸對稱，上任意一點到和的距離分別為和，證明：.

（3）當為菱形，且圓內(nèi)切于菱形時，求，滿足的關(guān)系式.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】數(shù)列的前n項組成集合，從集合中任取個數(shù)，其所有可能的k個數(shù)的乘積的和為（若只取一個數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），例如：對于數(shù)列，當時，時，；

（1）若集合，求當時，的值；

（2）若集合，證明：時集合的與時集合的（為了以示區(qū)別，用表示）有關(guān)系式，其中；

（3）對于（2）中集合.定義，求（用n表示）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，如圖放置的邊長為的正方形沿軸滾動（無滑動滾動），點恰好經(jīng)過坐標原點，設(shè)頂點的軌跡方程是，則對函數(shù)的判斷正確的是( )

A.函數(shù)是奇函數(shù)B.對任意的，都有

C.函數(shù)的值域為D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，某人打算做一個正四棱錐形的金字塔模型,先用木料搭邊框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一條棱和邊都相等.

(1)求證:直線AC垂直于直線SD；

(2)若搭邊框共使用木料24米，則需要多少立方米的填充材料才能將整個金字塔內(nèi)部填滿?

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知動點到點的距離與它到直線的距離的比值為,設(shè)動點形成的軌跡為曲線..

（1）求曲線的方程;

（2）過點的直線與曲線交于兩點,過點作,垂足為，過點作,垂足為,求的取值范圍.

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