Question

適當(dāng)排列三個(gè)實(shí)數(shù)10a²+81a+207，a+2，26-2a，使它們?nèi)〕Ｓ脤?duì)數(shù)后構(gòu)成公差為1的等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)x=10a²+81a+207，y=a+2，z=26-2a．首先，由x＞0，y＞0，z＞0，知-2＜a＜13．其次，判斷x，y，z的大小關(guān)系．由于x-y=10a²+80a+205，其判別式恒小于0，因此x-y＞0，即x＞y； 同樣，x-z=10a²+83a+181的判別式也恒小于0，故x＞z．此外，y-z=3（a-8），因當(dāng)a=8時(shí)，y=z 不合題意，所以分-2＜a＜8和8＜a＜13兩種情況討論．

解答：解：設(shè)x=10a²+81a+207，y=a+2，z=26-2a．首先，由x＞0，y＞0，z＞0，知-2＜a＜13．
其次，判斷x，y，z的大小關(guān)系．
由于x-y=10a²+80a+205，其判別式恒小于0，因此x-y＞0，即x＞y； 同樣，x-z=10a²+83a+181的判別式也恒小于0，故x＞z．此外，y-z=3（a-8），因當(dāng)a=8時(shí)，y=z 不合題意，所以分-2＜a＜8和8＜a＜13兩種情況討論．
（1）當(dāng)-2＜a＜8．此時(shí)y＜z，lgy，lgz，lgx構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，所以lgx-lgz=lgz-lgy=1．
∴x=10z，z=10y
∴10a²+81a+207=10（26-2a），26-2a=10（a+2）．
∴a=

1

2

∈（-2，8）．
（2）8＜a＜13．此時(shí)y＞z，lgz，lgy，lgx構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，所以lgy-lgz=lgx-lgy=1．
∴y=10z，x=10y
∴a+2=10（26-2a），10a²+81a+207=10（a+2）．
此時(shí)方程無解．因此只有a=

1

2

合乎題意．
故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列為載體，考查等差數(shù)列，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力、分析解決問題的能力，有綜合性．