Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，且∠DAB=60°，AB=2，E為PC的中點(diǎn)，，PC=4，直線DE與平面PAC所成角為45°．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-PD-B的平面角的大小．

Answer 1

（1）證明：連接AC，BD，相交于O，連接OE
設(shè)點(diǎn)D到面PAC的距離為h，則直線DE與平面PAC所成角的正弦值為sin45°=，∴h=1
∵底面ABCD為菱形，且∠DAB=60°，AB=2，∴DO=1
∴DO⊥平面PAC
∴DO⊥OE，且OE==1
∵，∴OE²+OC²=CE²
∴OC⊥OE
∵OC∩DO=O，∴OE⊥平面ABCD
∵OE∥PA，∴PA⊥平面ABCD；
（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O（0，0，0），A（），B（0，1，0），C（-），D（0，-1，0），P（），E（0，0，1）
設(shè)平面PDE的一個(gè)法向量為，則，∴
∴取
設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為，則，∴
∴取
∴cos＜＞==
∴求二面角E-PD-B的平面角的大小為arccos．
分析：（1）先證明OE⊥平面ABCD，再利用OE∥PA，可得PA⊥平面ABCD；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PDE，平面PBD的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查利用向量的方法，夾角空間角問題，求得平面的法向量是關(guān)鍵，