分析 (1)設(shè)MN交AD交于Q點由∠MOD=30°,利用銳角三角函數(shù)可求MQ,OQ,進而可求MN,AQ,代入S△PMN=$\frac{1}{2}$MN•AQ可求;
(2)設(shè)∠MOQ=θ,由θ∈[0,$\frac{π}{2}$],結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義可求MQ=sinθ,OQ=cosθ,代入三角形的面積公式S△PMN=$\frac{1}{2}$MN•AQ=$\frac{1}{2}$(1+sinθ)(1+cosθ)展開利用換元法,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求解.
解答 解:(1)設(shè)MN交AD交于Q點,
∵PM=PN,
∴點P在線段AB上,
∵∠MQD=30°,
∴MQ=1,OQ=$\sqrt{3}$
∴S△PMN=$\frac{1}{2}$MN•AQ=$\frac{1}{2}$×3×(2+$\sqrt{3}$)=$\frac{{6+3\sqrt{3}}}{2}$….…(7分)
(2)設(shè)∠MOD=θ$({θ∈[{0,\frac{π}{2}}]})$,則 MQ=2sinθ,OQ=2cosθ.
設(shè)P到MN的距離為h,則h≤|AQ|=2+2cosθ,
∴S△PMN=$\frac{1}{2}$MN•h≤$\frac{1}{2}$(2+2sinθ)(2+2cosθ)=2 (1+sinθcosθ+sinθ+cosθ)
令sinθ+cosθ=t∈$[{1,\sqrt{2}}]$,則S△PMN=2 (1+$\frac{{{t^2}-1}}{2}$+t)=(t+1)2
當t=$\sqrt{2}$即θ=$\frac{π}{4}$,且P在線段AB上時,S△PMN取得最大值,最大值為$3+2\sqrt{2}$.…(15分)
點評 本題主要考查了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用及利用三角函數(shù)求解函數(shù)的最值,換元法的應(yīng)用是求解的關(guān)鍵,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | bn>cn | B. | bn<cn | C. | bn≥cn | D. | bn≤cn |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $3\sqrt{3}$ | B. | $6\sqrt{3}$ | C. | 6 | D. | 18 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{14π}{3}$ | B. | $-\frac{14π}{3}$ | C. | $\frac{7π}{18}$ | D. | $-\frac{7π}{18}$ |
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