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對于函數f（x）=x•sinx，給出下列三個命題：①f（x）是偶函數；②f（x）是周期函數；③f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值為．正確的是    （寫出所有真命題的序號）．
【答案】分析：①研究函數的奇偶性，可用偶函數的定義來證明之；
②研究的是函數的周期性，采用舉對立面的形式說明其不成立；
③研究函數的單調性，可用兩個函數相乘時單調性的判斷方法進行判斷．
解答：解：對于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函數f（x）是偶函數，①正確；
對于②，當x=2kπ+時，f（x）=x，隨著x的增大函數值也在增大，所以不會是周期函數，故②錯；
對于③，由于f'（x）=sinx+xcosx，在區(qū)間[0，]上f'（x）＞0，在x=時f'（x）＞0，f（）=；
所以在x=的右邊，函數值繼續(xù)增大，故f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值大于，故③錯．
故答案為：①．
點評：本題考點是函數的單調性判斷與證明，函數的奇偶性，函數的中心對稱的判斷及函數的周期性，涉及到的性質比較多，且都是定義型，本題知識性較強，做題時要注意準確運用相應的知識準確解題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）的定義域為R，且對于一切實數x滿足f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x）
（1）若f（5）=9，求：f（-5）；
（2）已知x∈[2，7]時，f（x）=（x-2）2，求當x∈[16，20]時，函數g（x）=2x-f（x）的表達式，并求出g（x）的最大值和最小值；
（3）若f（x）=0的一根是0，記f（x）=0在區(qū)間[-1000，1000]上的根數為N，求N的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義域為A，若存在非零實數t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調函數．如果定義域為[0，+∞）的函數f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調函數，那么實數m的取值范圍是（　�。�
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x）定義域中任意的x1，x2（x1≠x2）有如下結論
①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；
②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；
③
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0；
④f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
．
當f(x)=(
1
2
)x時，上述結論中正確的序號是（　�。�
A、①②B、①④C、②③D、③④

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科目：高中數學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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