Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin（2x-

π

6

）+2sin²（x-

π

12

）（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）取得最大值時的x集合；
（3）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先通過三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）直接利用整體思想求出函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間．
（3）利用正弦函數(shù)的變換規(guī)律求出結(jié)果．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin（2x-

π

6

）+2sin²（x-

π

12

）
=

3

sin(2x-

π

6

)-cos(2x-

π

6

)+1，
=2sin(2x-

π

3

)+1，
所以：f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1，
令：-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，
解得：-

π

12

+kπ≤x≤kπ+

5π

12

，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z，
（2）令：2x-

π

3

=2kπ+

π

2

，
函數(shù)f（x）取得最大值的x集合為：
{x|x=kπ+

5π

12

，k∈Z}，
（3）先將函數(shù)y=sinx的圖象向右平移

π

3

個單位；再縱坐標不變，橫坐標縮小為原來的

1

2

倍； 再橫坐標不變，縱坐標擴大為原來的2倍；最后整個圖象向上平移1個單位．或者先將函數(shù)y=sinx的圖象縱坐標不變，橫坐標縮小為原來的

1

2

倍；再將圖象向右平移

π

6

個單位；再橫坐標不變，縱坐標擴大為原來的2倍；最后整個圖象向上平移1個單位．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定，函數(shù)圖象得變換問題．屬于基礎(chǔ)題型．